%{Created=Friday, December 16, 2011 21:13:08 by Toufik Laadj}
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\begin{document}
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\dominitoc
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\pagebreak%
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\addcontentsline{toc}{chapter}{Résumé}%
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%BeginExpansion
\adjustmtc
%EndExpansion
\thispagestyle{plain}\ \ \vspace{1.75cm}
\begin{center}
{\fontsize{22}{25pt}\normalfont\textbf{{ Titre ici par exemple :
{\textbf{Équations différentielles à second membre discontinue}} }}}%
\vspace{2cm}
NOM Prénom\vspace{1cm}
\textbf{{\large Résumé}}
\end{center}
Dans ce travail, nous nous intéressons aux équations différentielles à second
membre discontinue. Dans le premier chapitre nous rappelons quelques
définitions de base. Le deuxième chapitre est consacré aux équations
différentielles à second membre continue, (Méthode classique) avec une
condition initiale, en particulier, nous étudions la théorie du problème de
Cauchy. Dans le troisième chapitre, nous définissons le problème d'inclusions
différentielles, et nous étudions l'existence de la solution de ce problème.
Dans le quatrième chapitre nous discuterons les équations différentielles à
second membre discontinue, nous utilisons dans ce chapitre l'existence et
l'unicité de la solution au sens de Carathéodory dans le cas où le second
membre de l'équation est continue en $x$ et discontinue en $t$, et nous
utilisons la solution au sens de Filippov dans le cas où le deuxième côté de
l'équation est discontinue en $x$.\newline
\noindent\textbf{Mots-clés : }Problème de Cauchy, équations différentielles à
second membre discontinue, inclusions différentielles.
\pagebreak
\thispagestyle{plain}%
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\phantomsection
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\addcontentsline{toc}{chapter} {Dédicace}
\chapter*{\textit{Dédicace}}%
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\markboth{}{D\'edicase}%
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%
%TCIMACRO{\TeXButton{adjustmtc}{\adjustmtc}}%
%BeginExpansion
\adjustmtc
%EndExpansion
\vspace*{0.5cm} {\LARGE \textit{Je dédie ce modeste travail à}\vspace*{2.3cm}
}
{\LARGE \hspace*{3cm}\textit{mes\textbf{ {\Huge {très chers parents,}}}%
}\vspace*{2.3cm} }
{\LARGE \hspace*{10.2cm}\textit{mes frères, }\vspace*{2.3cm} }
{\LARGE \hspace*{12cm}\textit{et mes sœurs.}}
\newpage%
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\phantomsection
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\addcontentsline{toc}{chapter} {Remerciements}
\chapter*{\textit{Remerciements}}%
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\markboth{}{Remerciements}%
%EndExpansion
%
%TCIMACRO{\TeXButton{adjustmtc}{\adjustmtc}}%
%BeginExpansion
\adjustmtc
%EndExpansion
\vspace*{1cm}
\hspace{18pt} \textit{Avant tout, je remercie \textbf{Allah} le tout puissant
qui m'a donné la force, le courage, la volonté et la patience pour accomplir
ce modeste travail.}
\hspace{18pt} \textit{Je tiens en premier lieu à exprimer mes plus vifs
remerciements à mon encadreur Monsieur \textbf{LAADJ Toufik}, pour son aide,
sa patience et le soutien moral qu'il n'a cessé de me prodiguer tout au long
de la réalisation de ce travail.}
\hspace{18pt} \textit{J'exprime ici ma profonde gratitude à Monsieur
\textbf{AAAA Bbbb\textit{, }}Professeur à l'USTHB pour m'avoir fait l'honneur
de présider mon jury de mémoire.}
\hspace{18pt} \textit{Je remercie vivement Monsieur \textbf{AAAAA
Bbbbbbb\textit{,}} Maître de Conférences à l'USTHB qui a bien voulu faire
partie du jury.}
\hspace{18pt} \textit{Je ne saurais oublier de remercier tous mes professeurs
et toutes les personnes ayant contribué de près ou de loin à l'aboutissement
de ce travail.}
\hspace{18pt} \textit{Pour finir mes derniers mots de remerciements vont tout
naturellement à ma famille et mes amis.}
\textit{\vfill}
\begin{flushright}
P. Nom,\
\end{flushright}
\newpage%
%TCIMACRO{\TeXButton{phantomsection}{\phantomsection}}%
%BeginExpansion
\phantomsection
%EndExpansion
\addcontentsline{toc}{chapter} {Table des mati\`eres}%
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\tableofcontents
%EndExpansion
%
%TCIMACRO{\TeXButton{markboth Table des matières}{\markboth{}%
%{Table des mati\`eres}}}%
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\markboth{}{Table des mati\`eres}%
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%
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\newpage
\pagenumbering{arabic}\setcounter{page}{1}%
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\phantomsection
%EndExpansion
\addcontentsline{toc}{chapter} {Introduction}
\chapter*{Introduction}%
%TCIMACRO{\TeXButton{markboth Introduction}{\markboth{}{Introduction}}}%
%BeginExpansion
\markboth{}{Introduction}%
%EndExpansion
%
%TCIMACRO{\TeXButton{adjustmtc}{\adjustmtc}}%
%BeginExpansion
\adjustmtc
%EndExpansion
\vspace*{0.3cm}
Parmi les branches les plus importantes des mathématiques, la branche des
équations différentielles, qui sont considérées comme la base de la science
actif, où l'on trouve de nombreuses problèmes dans divers domaines formulés
mathématiquement sous la forme d'équations différentielles. En mathématiques
la forme générale d'une équation différentielle s'écrit sous la forme
$x^{(n)}=f(t,x,\dot{x},\cdots,x^{(n-1)})$, qui est une relation entre la
variable $t$, où $t$ représente en générale le temps, $x$ qui est une fonction
inconnue de $t$, et ses dérivées $\dot{x},\cdots,x^{(n)}$ par rapport à la
variable $t$, l'entier $n$ est l'ordre de l'équation.
Dans ce travail, nous discuterons la résolution d'une équation différentielle
avec une condition initiale, qui est appelé problème de Cauchy. Dans le
premier chapitre nous rappelons quelques définitions de base. Le deuxième
chapitre est consacré aux équations différentielles à second membre continue,
en particulier l'existence et l'unicité de la solution de quelques types du
problème de Cauchy \cite{Chao, Benja, PUJO}. Dans le troisième chapitre nous
définissons le problème d'inclusion différentielle et sa solution \cite{JAAC},
et nous présentons quelques définitions d'une application multivoque
(définition, semi-continuté) \cite{Hu}, à la afin on entamera l'existence de
la solution des inclusions différentielles \cite{SDAA}. Dans le dernier
chapitre nous discuterons les équations différentielles à second membre
discontinue. Ce chapitre est subdivisé en deux sections, dans la première où
le second membre discontinue par rapport à $t$, nous étudions l'existence et
l'unicité d'une solution au sens de Carathéodory \cite{AFFPV}. Et dans l'autre
section nous introduisons les solutions au sens de Filippov pour les équations
différentielle à seconde membre discontinue en $\ x$ \cite{TSCL, AFFPV}. Dans
le dernier chapitre nous examinerons l'existence et l'unicité de la solution
d'une équation d'ordre supérieure discontinue \cite{BDMSFT}.
\chapter{Préliminaires}%
%TCIMACRO{\TeXButton{minitoc}{\minitoc}}%
%BeginExpansion
\minitoc
%EndExpansion
L'objective de ce préliminaire est donner quelques définitions de base et un
vocabulaire de départ que l'on retrouve dans beaucoup de manuscrites qui
traitent du domaine.
\section{Notations}
..........
\section{Abréviations}
............
\section{Définitions}
\begin{definition}
[\textbf{Équicontinue}]Soit $X$ un ensemble, et $F$ sous ensemble de $X$. On
dit que $F$ est équicontinue en un point $x_{0}\in X$,\ si pour tout
$\varepsilon>0$, il existe un voisinage $V(x_{0})$ dans $X$, tel que pour tout
$x\in V(x_{0})$, et pour tout $f\in F$, on ait $\left\Vert f(x)-f(x_{0}%
)\right\Vert <\varepsilon$.\newline$\bullet$ On dit que $F$ est équicontinue
s'elle est équicontinue on tout points de $X$.
\end{definition}
\begin{definition}
Une fonction $x:J\rightarrow%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
$ est dite absolument continue si pour tous intervalles disjoints$\ \left[
a_{i},b_{i}\right] _{i=1}^{p}$inclus dans $J$,$\ $tels que%
\[
\forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0:%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=1}^{p}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{p}}
%EndExpansion
(b_{k}-a_{k})<\delta\Rightarrow%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=1}^{p}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{p}}
%EndExpansion
\left\vert x(b_{k})-x(a_{k})\right\vert <\varepsilon.
\]
\end{definition}
\begin{definition}
Soient $\left( E,\mathcal{A}\right) $, $\left( F,\mathcal{B}\right) $ deux
espaces mesurables, et soit la fonction $f:\left( E,\mathcal{A}\right)
\rightarrow\left( F,\mathcal{B}\right) $, on dit que $f$ est mesurable si
pour tout $V\in\mathcal{B}$\ alors $f^{-1}(V)\in\mathcal{A}$, où
$\mathcal{A},\mathcal{B}$\ deux tribus.
\begin{theorem}
[d'Ascoli-Arzela]\rule{1.5cm}{0cm}\newline Soit $X\subset\mathcal{C}(J,%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n})$, si $X$ est bornée et équicontinue, alors $X$ contient une suite
uniformément convergente $x_{i}(.)\in X$ ,$i=1,2,...,$ i.e. Il existe
$x(.)\in\mathcal{C}(J,%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n})$ tel que $\left\vert x_{i}(t)-x(t)\right\vert _{\mathcal{C}}%
\rightarrow0$ lorsque $i\rightarrow\infty$.
\end{theorem}
\begin{theorem}
[Valeur moyenne]Soient l'ensemble $X$\ et l'intervalle ouvert $\left]
a,b\right[ $, et soit $v\in L_{loc}^{1}(\left] a,b\right[ ,X)$ à valeurs
dans un sous-ensemble $C\subset X$. Alors pour tout $t_{0},t_{1}$ dans
$\left] a,b\right[ $, on a \
\[
\int_{t_{0}}^{t1}v(s)ds\in(t_{1}-t_{0})\overline{\operatorname{cov}%
}(C)\text{.}%
\]
\end{theorem}
\end{definition}
\chapter{Problème de Cauchy}%
%TCIMACRO{\TeXButton{minitoc}{\minitoc}}%
%BeginExpansion
\minitoc
%EndExpansion
L'objectif de ce chapitre est d'étudier l'existence et l'unicité locale du
problème de Cauchy c'est-à-dire une équation différentielle ordinaire pour
laquelle on a donné une condition initiale sans connaître explicitement les solutions.
\section{Problème de Cauchy d'ordre un}
\begin{definition}
\rule{1.5cm}{0cm}\newline On appelle problème de Cauchy le problème suivant:
Étant donné\newline- $J$ un intervalle non trivial de $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
$.\newline- Une fonction définie et continue sur $J\times%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}$ à valeurs dans $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}$.
\[%
\begin{array}
[c]{ccl}%
f: & J\times%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n} & \rightarrow%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\\
\, & (t,x) & \mapsto f(t,x)\text{.}%
\end{array}
\]
Trouver une fonction $x\in\mathcal{C}^{1}$ telle que%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}
[c]{lll}%
\dot{x}(t)=f(t,x(t)), & \ & \forall t\in J,\forall x\in%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\\
x(t_{0})=x_{0},\ & \ & t_{0}\in J\text{ \ condition initiale}%
\end{array}
,\right. \ \ (PC). \label{pbC}%
\end{equation}
Par la donné d'une condition dite condition de Cauchy, ou condition initiale.
Et on note le problème de Cauchy par (\ref{pbC}).
\end{definition}
......
\section{Problème de Cauchy d'ordre supérieur}
.......
\section{Solutions locales, maximales, globales}
......
\section{Existence et unicité de solutions du problème de Cauchy}
.......
\section{Généralisation du théorème de Cauchy-Lipschitz}
......
\chapter{Les inclusions différentielles}%
%TCIMACRO{\TeXButton{minitoc}{\minitoc}}%
%BeginExpansion
\minitoc
%EndExpansion
Dans ce chapitre on étudie l'existence d'une solution de l'inclusion
différentielle. \newline On considère le problème suivant :%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}
[c]{ll}%
\dot{x}(t)\in F(x(t)),\text{ } & \text{\ }t\in J=\left[ 0,T\right] \\
x(t_{0})=x_{0},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & \,
\end{array}
\right. \label{equ1}%
\end{equation}
où $F:J\times%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\rightarrow\rho(%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n})$ une application multivoque\ à valeurs compactes, convexes.
\begin{example}
\label{exeple1}On considère l'inclusion différentielle suivant :%
\[
\dot{x}\in F(x)=\operatorname{Sgn}(x)=\left\{
\begin{array}
[c]{ll}%
1\text{ \ \ \ \ \ \ } & \text{si }x<0\\
\left[ -1,1\right] \text{\ \ } & \text{si \ }x=0\\
-1\text{ \ \ \ \ \ \ } & \text{si \ }x>0
\end{array}
,\right. t\in\left[ 0,T\right]
\]
\newline Cette inclusion différentielle admet unique solution globale
$x(t)=0$, pour une condition initiale$\ x(0)=0$.\newline\newline Attention !
$\ \operatorname{Sgn}$ \ c'est une notation, c'est-à-dire $\operatorname{Sgn}%
(x)\neq\operatorname{sgn}(x)$.
\end{example}
\section{Application multivoque}
......
\section{Continuité des applications multivoques}
.....
\subsection{Notion de Solution}
......
\section{Existence des solutions}
......
\section{Inclusions différentielles semi-continues supérieurement}
Dans cette section, nous considérons les inclusions différentielles suivants :%
\begin{equation}
\dot{x}(t)\in F(x)
\end{equation}
où $F:%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}\leadsto%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}$ est une application multivoque semi-continue supérieurement à valeurs
fermées, bornée et convexes.
......
\chapter{Équations différentielles à second membre discontinue}%
%TCIMACRO{\TeXButton{minitoc}{\minitoc}}%
%BeginExpansion
\minitoc
%EndExpansion
Dans ce présent chapitre on étudiera l'existence et l'unicité de la solution
du problème de Cauchy dans le cas où le second membre de l'équation est
discontinue par rapport à $t$ (solution au sens de Carathéodory) et
discontinue par rapport à $x$ (solution au sens de Filippov).
\section{Équations différentielles à second membre continue en $x$ et
discontinue en $t$}
\subsection{Solution au sens de Carathéodory}
......
\subsection{Équations différentielles à second membre discontinue en $x$}
......
\section{Solution faible}
......
\section{Solution au sens de Filippov}
.....
\subsection{Équations différentielles à second membre discontinue d'ordre
supérieure}
.....
\subsubsection{Théorie de Filippov (Existence et unicité de la solution au
sens de Filippov)}
......
\paragraph{Existence et unicité de la solution au sens de Filippov d'une
équation d'ordre supérieure}
.....
\subparagraph{Premier cas}
.....
\subparagraph{Deuxième cas}
.......
\subsection{Comparaison avec le cas classique}
.....
\newpage%
%TCIMACRO{\TeXButton{phantomsection}{\phantomsection}}%
%BeginExpansion
\phantomsection
%EndExpansion
\addcontentsline{toc}{chapter} {Conclusion}
\chapter*{Conclusion}%
%TCIMACRO{\TeXButton{markboth Conclusion}{\markboth{}{Conclusion}}}%
%BeginExpansion
\markboth{}{Conclusion}%
%EndExpansion
Comme résultat de ce travail, nous croyons que nous avons appris trois leçons
importantes. Premièrement, le deuxième chapitre est garanti l'existence locale
de la solution d'une équation différentielle à second membre continue, et cet
solution est dérivable pour tous variables $t$. Deuxièmement, l'existence de
la solution de l'inclusion différentielle est assuré dans le cas où
l'application multivoque est semi-continue supérieurement. Troisièment, la
solution de l'équation différentielle à second membre discontinue et
l'inclusion différentielle est absolument continue, c'est-à-dire la dérivée
est Lebesgue intégrable. La méthode de Filippov est plus générale de les
autres méthodes.
\newpage%
%TCIMACRO{\TeXButton{phantomsection}{\phantomsection}}%
%BeginExpansion
\phantomsection
%EndExpansion
\addcontentsline{toc}{chapter} {Bibliographie}
\begin{thebibliography}{99} %
%TCIMACRO{\TeXButton{markboth Bibliographie}{\markboth{}{Bibliographie}}}%
%BeginExpansion
\markboth{}{Bibliographie}%
%EndExpansion
\bibitem {PUJO}\textbf{Driss Boularas}, Équations différentielles, 2001-2002.
\bibitem {Chao}\textbf{Chao-Jiang Xu}, Équations Différentielles Ordinaires, 2008-2009.
\bibitem {Benja}\textbf{Benjamin Bouvier}, Résolution numérique des équations
diférentielles, 2010.
\bibitem {Richerd}\textbf{Jean-Pierre Richard,} Mathématiques pour les
systèmes dynamiques, Lavoisier, 2002.
\bibitem {Smirnov}\textbf{Georgi V. Smirnov} Introduction to the Theory of
Differential Inclusions. American Mathematical Soc. 2001.
\bibitem {TSCL}\textbf{Claude Lobry et Tewfik Sari}, Equations differentielles
à second membre discontinu, Hermann, Paris 2005.
\bibitem {AFFPV}\textbf{A. F. Filippov}, Differential Equation with
Discontinuos Righthand Sides,1988.
\bibitem {Hu}\textbf{Shouchuan Hu, Papageorgiou, Nikolaos S.} Handbook of
multivalued analysis, Springer 1997.
\bibitem {JAAC}\textbf{J. P. Aubin and A. Cellina}, Differential inclusions,
Springer 1984.
\bibitem {SDAA}\textbf{Sara Derivière and M. A. Aziz-Alaoui}, An Invariance
Principle for Discontinuous Righthand Sides Dynamical Systems.
\bibitem {BDMSFT}\textbf{M. Rem}, Bifurcations in Discontinuous Mechanical
Systems of Filippov-Type, Eindhoven, 2000.
\end{thebibliography}
\end{document}