Corrigé de l'EF VOO (15 janvier 2026)

Exercice 1 (7.5 = 5 X 1.5)

1. a) est multipliée par 2

2. a) le rapport des amplitudes reste constant

3. a) L'amortissement

4. b) ( ${\omega }_0=\delta$\)

5. b) pulsation de la force d'excitation

Exercice 2 (7.5)

Les figures a et b doivent être utilisées pour déterminer les grandeurs demandées.

1. Facteur d'amortissement ($\delta$ ) : [1.5 = 0.5 (pour l'utilisation de la bande passante) , 0.5 (pour l'expression litterale qui relie la bande passante à $\delta$), 0.5 (pour la valeur numérique avec unité de $\delta$)]

• Sur la figure b (mouvement forcé), on mesure la Bande passante à $A_{max}/\sqrt{2}$
• Bde passante = $2\delta ={\omega }_2-{\omega }_1$ tel que $A({\omega }_2)=A({\omega }_1)=A_{max}/\sqrt{2}$
• de la Fig b on lit $A_{max}=17.2$ cm et la valeur $A_{max}/\sqrt{2}=12.2$ cm
• ${\omega }_2=10.3$ rad/s et ${\omega }_1=9.7$ rad/s
• d'où : $\boxed{\delta =0.3rad/s=0.3s^{-1}}$.

2. Pseudo-période ( $T_a$ ) : [2 = 1.0 (pour l'utilisation du décrement logarithmique $\Delta$ : expression et résultat numérique juste), 0.5 (pour l'expression littérale $T_a$ , $\Delta$ et $\delta$) , 0.5 (pour la valeur numérique avec unité de $T_a$) ]

Pour mesurer $T_a$, on utilise le résultat obtenu précedemment pour $\delta$ .

• Sur la figure a (mouvement libre amorti), mesurer deux amplitudes maximales consécutives ( $A_1$ ) et ( $A_2$ ) (par exemple les deux premiers pics ou autre).
• Calculer le Decrément logarithmique ( $\Delta$ ) avec la formule : $\Delta =\frac{1}{n}\ln \left(\frac{A_1}{A_2}\right)=\frac{1}{1}\ln \left(\frac{4.2}{3.5}\right)=0.182$ où n représente le nombre de période qui sépare les deux amplitudes choisi (dans notre cas $n=1$, $A_1=4.2$ cm et $A_2=3.5$ cm)
• sachant que $\Delta =\delta .T_a$; alors $\boxed{T_a=\Delta /\delta =0.607s}$

3. Pulsation propre amortie ( ${\omega }_0$ ) : [1 = 0.5 (pour l'expression littérale ${\omega }_a$ , ${\omega }_0$ et $\delta$), 0.5 (pour la valeur numérique avec unité) ]

• On a ${\omega }_a²={\omega }_0²-\delta ²$.
• ${\omega }_a=\frac{2\pi }{T_a}$
• $\boxed{{\omega }_0²=\sqrt{{\omega }_a²+\delta ²}=\sqrt{(\frac{2\pi }{T_a})²+\delta ²}=10.356rad/s}$

4. On a m = 1 kg

a) Coefficient d'amortissement visqueux ( $\alpha$ ) : [1 = 0.5 (pour l'expression littérale ), ( 0.5 pour la valeur numérique avec unité) ]

$\boxed{\alpha =2m\delta =0.6\text{kg/s}}$

b) Raideur du ressort ( k ) : [1 = 0.5 (pour l'expression littérale ), ( 0.5 pour la valeur numérique avec unité) ]

$\boxed{k=m{\omega }_0^2=107.238\text{N/m}}$

5. Amplitude de la force excitatrice ( $F_0$ ) : [1 = 0.5 (pour l'expression littérale ), ( 0.5 pour la valeur numérique avec unité) ]

• Sur la figure b (mouvement forcé harmonique en régime permanent), On peut chercher l'amplitude à la résonance ou bien l'amplitude à n'iporte quelle pulsation.

$X(\omega )=(F_0/m)/\sqrt{({\omega }_0²-\omega ²)²+(2\delta \omega )²}$

${\omega }_r=\sqrt{{\omega }_0²-2\delta ²}\approx {\omega }_0$

car $\delta <<{\omega }_0$ ($\delta =0.3s^{-1}$ ${\omega }_0=10.356s^{-1}$)

$X({\omega }_r)=A_{max}=(F_0/m)/(2\delta {\omega }_0)$

$\boxed{F_0=(2\delta {\omega }_0)m{A}_{max}=1.069N}$

Exercice 3 : 5 = [ 1 (en remplaçant $\ddot{\theta }=-\omega ²\theta$, 1 (en appliquant det = 0), 1 (en trouvant l'équation bicarrée en $\omega ⁴$), 1 (le résultat de A avec raisonnement juste), 1 (pour le résultat de B avec raisonnement juste) ]

On considère le système différentiel donné :

$\{\begin{array}{l}{\ddot{\theta }}_1+A{\theta }_1-\frac{k}{4m}{\theta }_2=0\\ {\ddot{\theta }}_2-\frac{k}{4m}{\theta }_1+B{\theta }_2=0\end{array}$

On cherche des solutions harmoniques :

${\theta }_1(t)=X_1{e}^{i\omega t},{\theta }_2(t)=X_2{e}^{i\omega t}$

En substituant dans les équations différentielles :

$\{\begin{array}{l}(A-{\omega }^2)X_1-\frac{k}{4m}{X}_2=0\\ -\frac{k}{4m}{X}_1+(B-{\omega }^2)X_2=0\end{array}$

Le système homogène admet une solution non nulle si et seulement si le déterminant est nul :

$det=\left|\begin{array}{cc}A-{\omega }^2& -\frac{k}{4m}\\ -\frac{k}{4m}& B-{\omega }^2\end{array}\right|=0$

Ce qui conduit à :

$(A-{\omega }^2)(B-{\omega }^2)-{\left(\frac{k}{4m}\right)}^2=0$

Après développement :

${\omega }^4-(A+B){\omega }^2+AB-\frac{k^2}{16m^2}=0$

Il s’agit d’un trinôme du second degré en (${\omega }^2$\).

Les pulsations propres sont données :

${\omega }_1^2=\frac{g}{l},{\omega }_2^2=\frac{g}{l}+\frac{k}{2m}$

Ces deux valeurs sont les racines du trinôme précédent.

Somme des racines

${\omega }_1^2+{\omega }_2^2=\frac{2g}{l}+\frac{k}{2m}$

Donc :

$A+B=\frac{2g}{l}+\frac{k}{2m}$

Produit des racines

${\omega }_1^2{\omega }_2^2=\frac{g^2}{l^2}+\frac{gk}{2ml}$

Ainsi :

$AB-\frac{k^2}{16m^2}=\frac{g^2}{l^2}+\frac{gk}{2ml}$

soit :

$AB=\frac{g^2}{l^2}+\frac{gk}{2ml}+\frac{k^2}{16m^2}$

Les coefficients (A) et (B) vérifient :

$$\begin{gathered} A+B=S \\ AB=P \end{gathered}$$

avec :

$S=\frac{2g}{l}+\frac{k}{2m},P=\frac{g^2}{l^2}+\frac{gk}{2ml}+\frac{k^2}{16m^2}$

Ils sont donc solutions du trinôme :

$x^2-Sx+P=0$

Calcul du discriminant :

$\Delta =S^2-4P=(\frac{2g}{l}+\frac{k}{2m})²-4(\frac{g^2}{l^2}+\frac{gk}{2ml}+\frac{k^2}{16m^2})=0$

Le trinôme admet une racine double.

On obtient finalement :

$\boxed{A=B=\frac{g}{l}+\frac{k}{4m}}$