Correction détaillée -- Épreuve de rattrapage VOO L2

Exercice 1 (8 points) : QCM : [ 1 point par réponse juste]

1. a) 2. a) 3. a) 4. a) 5. a) 6. a) 7. a) 8. a)

Exercice 2 (12 points)

Partie 1 : Oscillation amortie

1. L = T - U : [4 = 2 pour la demonstration de l'énergie cinétique et obtention de l'expression exacte + 2 pour la demonstration de l'énergie potentielle et obtention de l'expression exacte]

Pour trouver l'expression de L, il faut calculer l'énergie cinétique totale et l'énergie potentielle totale .

T = Enérgie cinétique de rotation de la barre autour de O.

T = \frac{1}{2} I_{O} \dot{θ}^{2} = \frac{1}{2} (\frac{m l ^{2}}{3}) \dot{θ}^{2} = \frac{m l ^{2}}{6} \dot{θ}^{2}

U = Energie potentielle = $U_{k} + U_{g r a v i}$

$U_{g r a v i}$ = non quadratique , disparait dans la condition d'équilibre

$U_{k} = (1/2) k (d e f or ma t i o n d u ressor t)^{2} = (1/2) k x ² = (1/2) k ((l /2) s in (θ)) ² = (1/2) k (l /2) ² θ ²$

U_{k} = \frac{1}{8} k l ² θ ²

d' où :

L = \frac{m l ^{2}}{6} \dot{θ}^{2} - \frac{1}{8} k l^{2} θ^{2}

2. Détermination de l'équation du mouvement : [3 = 1 pour l'équation de mouvement + 1 pour l'expression exacte de $ω_{0}$ + 1 pour l'expression exacte de $δ$ ]

Nous avons :

L = \frac{1}{2} (\frac{m l ^{2}}{3}) \dot{θ}^{2} - \frac{1}{8} k l^{2} θ^{2}

La fonction de dissipation (amortissement) est :

D = \frac{1}{2} α l^{2} \dot{θ}^{2}

L'équation de Lagrange avec dissipation est :

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial θ ˙}) - \frac{\partial L}{\partial θ} = - \frac{\partial D}{\partial θ ˙}

\frac{\partial L}{\partial θ ˙} = \frac{m l ^{2}}{3} \dot{θ}

\frac{d}{d t} (\frac{m l ^{2}}{3} \dot{θ}) = \frac{m l ^{2}}{3} \ddot{θ}

\frac{\partial L}{\partial θ} = - \frac{1}{4} k l^{2} θ

\frac{\partial D}{\partial θ ˙} = α l^{2} \dot{θ}

On remplace tout dans l'équation de Lagrange

\frac{m l ^{2}}{3} \ddot{θ} - (- \frac{1}{4} k l^{2} θ) = - α l^{2} \dot{θ}

Donc

\frac{m l ^{2}}{3} \ddot{θ} + α l^{2} \dot{θ} + \frac{1}{4} k l^{2} θ = 0

On divise toute l'équation par ( $\frac{m l ^{2}}{3}$ )

\ddot{θ} + \frac{3 α}{m} \dot{θ} + \frac{3 k}{4 m} θ = 0

On fait l'identification avec la forme standard

La forme standard est

\ddot{θ} + 2 δ \dot{θ} + ω_{0}^{2} θ = 0

On identifie :

2 δ = \frac{3 α}{m}

donc

δ = \frac{3 α}{2 m}

ω_{0}^{2} = \frac{3 k}{4 m}

donc

ω_{0} = \frac{3 k}{4 m}

3. Détermination de ( $k$ ) et ( $α$ ) : [ 3 = 1 pour l'utilisation du décrément logarithmique pour trouver la valeur de $δ$ + 1 pour trouver l'expression de $α$ ainsi que sa valeur numérique + 1 pour trouver l'expression de $k$ ainsi que sa valeur numérique ]

On applique le décrément logarithmique :

Δ = \frac{1}{n} L o g (\frac{A ( t _{0} )}{A ( t _{0} + n T _{a} )}) = δ T_{a}

Ici :

n = 5

A (t_{0} + n T_{a}) = \frac{A ( t _{0} )}{2}

T_{a} = 0.4 s

Donc

δ = \frac{Δ}{T _{a}} = \frac{ln 2}{2}

δ = 0.3466 s^{- 1}

δ = \frac{3 α}{2 m}

α = \frac{2 m δ}{3}

α = 0.231 \frac{k g}{s}

La pseudo‑pulsation est

ω_{a} = \frac{2 π}{T _{a}}

Donc

ω_{a} = \frac{2 π}{0.4}

ω_{a} = 15.71 r a d / s

Pour un oscillateur amorti :

ω_{a} = ω_{0}^{2} - δ^{2}

Donc

ω_{0}^{2} = (\frac{2 π}{T _{a}})^{2} + δ^{2}

ω_{0}^{2} = 246.860 (r a d / s) ²

ω_{0}^{2} = \frac{3 k}{4 m}

k = \frac{4 m ω _{0}^{2}}{3}

k = \frac{4}{3} \times 246.86

k = 329.14 N / m \approx 329 N / m

Partie 2 : Oscillation forcée

Une force appliquée en (A) :

F (t) = F_{0} cos (ω t)

4. Équation de Lagrange avec force généralisée : [ 1 : 1 si l'expression obtenue est juste. 0 si elle est fausse ]

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial θ ˙}) - \frac{\partial L}{\partial θ} = - \frac{\partial D}{\partial θ ˙} + F (t) \frac{l}{2}

On utilise l'équation de mouvement obtenue dans la 1er partie :

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial θ ˙}) - \frac{\partial L}{\partial θ} + \frac{\partial D}{\partial θ ˙} = F (t) \frac{l}{2}

\frac{m l ^{2}}{3} \ddot{θ} + α l^{2} \dot{θ} + \frac{1}{4} k l^{2} θ = F (t) \frac{l}{2}

On divise par ( $\frac{m l ^{2}}{3}$ )

\ddot{θ} + 2 δ \dot{θ} + ω_{0}^{2} θ = \frac{3 F _{0}}{2 m l} cos (ω t)

5. Calcul de ( $F_{0}$ ) : [ 1 = 0.5 pour l'expression de l'amplitude $θ (ω)$ + 0.5 pour l'expression de $F_{0}$ et sa valeur numérique ]

Amplitude d'un oscillateur forcé :

θ (ω) = \frac{\frac{3 F _{0}}{2 m l}}{( ω _{0}^{2} - ω ^{2} ) ^{2} + ( 2 δ ω ) ^{2}}

ω = ω_{0}

Donc

θ (ω_{0}) = \frac{3 F _{0}}{2 m l} \frac{1}{2 δ ω _{0}}

F_{0} = \frac{2 m l}{3} 2 δ ω_{0} θ (ω_{0})

Valeurs

( $m = 1 k g$ )
( $l = 1 m$ )
( $δ = 0.346 s^{- 1}$ )
( $ω_{0} = 15.71 r a d / s$ )
( $θ (ω_{0}) = π /36$ )

Calcul

F_{0} = \frac{2}{3} \times \frac{π}{36} \times (2 \times 0.3466 \times 15.71)

F_{0} = 0.63 N

Correction détaillée -- Épreuve de rattrapage VOO L2

Exercice 1 (8 points) : QCM : [ 1 point par réponse juste]

1. a) 2. a) 3. a) 4. a) 5. a) 6. a) 7. a) 8. a)

Exercice 2 (12 points)

Partie 1 : Oscillation amortie

1. L = T - U : [4 = 2 pour la demonstration de l'énergie cinétique et obtention de l'expression exacte + 2 pour la demonstration de l'énergie potentielle et obtention de l'expression exacte]

2. Détermination de l'équation du mouvement : [3 = 1 pour l'équation de mouvement + 1 pour l'expression exacte de ω0​ + 1 pour l'expression exacte de δ ]

On remplace tout dans l'équation de Lagrange

On fait l'identification avec la forme standard

3. Détermination de (k) et ( α) : [ 3 = 1 pour l'utilisation du décrément logarithmique pour trouver la valeur de δ + 1 pour trouver l'expression de α ainsi que sa valeur numérique + 1 pour trouver l'expression de k ainsi que sa valeur numérique ]

Partie 2 : Oscillation forcée

4. Équation de Lagrange avec force généralisée : [ 1 : 1 si l'expression obtenue est juste. 0 si elle est fausse ]

5. Calcul de (F0​) : [ 1 = 0.5 pour l'expression de l'amplitude θ(ω) + 0.5 pour l'expression de F0​ et sa valeur numérique ]

2. Détermination de l'équation du mouvement : [3 = 1 pour l'équation de mouvement + 1 pour l'expression exacte de $ω_{0}$ + 1 pour l'expression exacte de $δ$ ]

3. Détermination de ( $k$ ) et ( $α$ ) : [ 3 = 1 pour l'utilisation du décrément logarithmique pour trouver la valeur de $δ$ + 1 pour trouver l'expression de $α$ ainsi que sa valeur numérique + 1 pour trouver l'expression de $k$ ainsi que sa valeur numérique ]

5. Calcul de ( $F_{0}$ ) : [ 1 = 0.5 pour l'expression de l'amplitude $θ (ω)$ + 0.5 pour l'expression de $F_{0}$ et sa valeur numérique ]