Corrigé — CC1 - VOO - L2 (Eln-Chimie)

Exercice 1 — QCM (Vrai ou Faux) (10)

Question	Réponse
1	Vrai
2	Faux
3	Vrai
4	Vrai
5	Faux

Exercice 2 — Masse, ressort, poulie et amortisseur (7)

On note $x (t)$ la petite perturbation autour de la position d’équilibre (donc $x_{0} = 0$ à l’équilibre). La poulie a un rayon $r$ et un moment d’inertie $J_{0}$ .

On a un fil inextenssible, si la poulie tourne d'un angle $θ$ alors le fil se deplace de x :

r θ = x

1. Énergie cinétique (1)

T = \frac{1}{2} (m \overset{x}{˙}^{2}) + \frac{1}{2} (J_{0} \dot{θ}^{2})

T = \frac{1}{2} (m + \frac{J _{0}}{r ²}) \overset{x}{˙}^{2}

2. Énergie potentielle (1)

U = \frac{1}{2} k x^{2}

(Le terme $m gx$ ne figure pas, car l'énergie potentielle de gravitation n'est pas quadratique.)

3. Lagrangien (1)

L = T - U = \frac{1}{2} (m + \frac{J _{0}}{r ^{2}}) \overset{x}{˙}^{2} - \frac{1}{2} k x^{2}

4. Fonction de dissipation (1)

D = \frac{1}{2} α \overset{x}{˙}^{2}

5. Équation différentielle du mouvement (1)

À partir de l’équation de Lagrange avec dissipation :

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial x ˙}) - \frac{\partial L}{\partial x} + \frac{\partial D}{\partial x ˙} = 0

on obtient :

(m + \frac{J _{0}}{r ^{2}}) \overset{x}{¨} + α \overset{x}{˙} + k x = 0

\overset{x}{¨} + \frac{α}{( m + \frac{J _{0}}{r ^{2}} )} \overset{x}{˙} + \frac{k}{( m + \frac{J _{0}}{r ^{2}} )} x = 0

ω_{0} ² = \frac{k}{( m + \frac{J _{0}}{r ^{2}} )}

2 δ = \frac{α}{( m + \frac{J _{0}}{r ^{2}} )}

6. Condition de pseudo-périodicité (2)

Pulsation propre :

ω_{0} = \frac{k}{m + J _{0} / r ^{2}}

Facteur d’amortissement :

δ = \frac{α}{2 ( m + J _{0} / r ^{2} )} .

Régime pseudo-périodique (sous-amorti) si et seulement si :

ω_{0} > δ ⟺ \frac{k}{m + J _{0} / r ^{2}} > \frac{α}{2 ( m + J _{0} / r ^{2} )} ⟺ α^{2} < 4 k (m + \frac{J _{0}}{r ^{2}}) .

ou encore :

J_{0} > r^{2} (\frac{α ^{2}}{4 k} - m) .

Exercice 3 — Cylindre plein roulant sans glisser (3)

Un cylindre plein homogène de masse $M$ et de rayon $R$ roule sans glisser. Son axe est relié à un ressort de raideur $K$ . Le déplacement de l’axe est noté $x$ , avec la contrainte cinématique $x = Rθ$ .

Moment d’inertie du cylindre :

J = \frac{1}{2} M R^{2} .

Pour trouver l'équation de mouvement, on doit chercher l'énergie cinétique, l'énergie potentielle ainsi que le Lagrangien.

L'équation de mouvement est donnée par :

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial x ˙}) - (\frac{\partial L}{\partial x}) = 0

Énergie cinétique (1)

T = \frac{1}{2} M \overset{x}{˙}^{2} + \frac{1}{2} J \dot{θ}^{2} = \frac{1}{2} M \overset{x}{˙}^{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} M R^{2}) (\frac{x ˙}{R})^{2} = \frac{3}{4} M \overset{x}{˙}^{2} .

Énergie potentielle (1)

U = \frac{1}{2} K x^{2}

Équation du mouvement (1)

\frac{3}{2} M \overset{x}{¨} + K x = 0

ou encore :

\overset{x}{¨} + \frac{2 K}{3 M} x = 0.