Résolution des exercices 1 et 2

Exercice 1 (5 points)

1. b) [Dans un système masse-ressort-amortisseur en régime forcé, l’amplitude des oscillations en régime permanent est maximale pour la pulsation de résonance : $\omega =\sqrt{{\omega }_0^2-2{\delta }^2}$ où ${\omega }_0$ est la pulsation propre et $\delta$ le coefficient d’amortissement.]

2. c) [En régime sinusoïdal forcé, le déphasage entre le deplacement ($x(t)$) et la force excitatrice (F(t)) est - $\frac{\pi }{2}$ à la résonance.]

3. b) [L’acuité de la résonance (bande passante) est inversement proportionnelle au facteur de qualité (Q) : $\Delta \omega \propto \frac{1}{Q}$ ]

4. b) [Le nombre de modes propres d’un système oscillant linéaire est égal au nombre de degrés de liberté.]

5. b) [L’impédance mécanique (Z) est définie comme le rapport de la force à la vitesse : $Z=\frac{F(t)}{\dot{x}}$ ]

Exercice 2 (7 points)

1. Lagrangien du système

Le cylindre roule sans glisser. Soit (x) la position horizontale de son centre de gravité. La condition de roulement sans glissement impose :
$\dot{x}=R\dot{\theta }\Rightarrow \dot{\theta }=\frac{\dot{x}}{R}$ où ($\theta$) est l’angle de rotation.

Énergie cinétique :
Translation : ($\frac{1}{2}M{\dot{x}}^2$)
Rotation : ($\frac{1}{2}J{\dot{\theta }}^2$) avec ($J=\frac{1}{2}M{R}^2$)

$T=\frac{1}{2}M{\dot{x}}^2+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}M{R}^2\cdot {\left(\frac{\dot{x}}{R}\right)}^2=\frac{1}{2}M{\dot{x}}^2+\frac{1}{4}M{\dot{x}}^2=\frac{3}{4}M{\dot{x}}^2$

Énergie potentielle élastique :

$U=\frac{1}{2}k{x}^2$

Le lagrangien (L = T - U) s’écrit :

$\boxed{L=\frac{3}{4}M{\dot{x}}^2-\frac{1}{2}k{x}^2}$

2. Équation différentielle et pulsation de résonance

Équation de Lagrange avec forces non conservatives :

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=-\frac{\partial D}{\partial \dot{x}}+Q_{\text{nc}}$

avec ($Q_{\text{nc}}=F(t)$).

D =$\frac{1}{2}\alpha {\dot{x}}^2$

Calcul :

$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=\frac{3}{2}M\dot{x}\Rightarrow \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)=\frac{3}{2}M\ddot{x}$

$\frac{\partial L}{\partial x}=-kx$

D’où :

$\frac{3}{2}M\ddot{x}+kx=F_0\cos (\omega t)-\alpha \dot{x}$

$\boxed{\frac{3}{2}M\ddot{x}+\alpha \dot{x}+kx=F_0\cos (\omega t)}$

Forme standard :

$\ddot{x}+\frac{2\alpha }{3M}\dot{x}+\frac{2k}{3M}x=\frac{2F_0}{3M}\cos (\omega t)$

Identification avec un oscillateur amorti forcé :

$\delta =\frac{\alpha }{3M},{\omega }_0^2=\frac{2k}{3M}$

Pulsation de résonance (${\omega }_r$\) :

${\omega }_r=\sqrt{{\omega }_0^2-2{\delta }^2}=\frac{1}{3M}\sqrt{6kM-2{\alpha }^2}$

Calcul numérique :

${\omega }_0^2=\frac{2\times 200}{3\times 4}=\frac{100}{3}\approx 33,333{\text{rad}}^2/{\text{s}}^2$

$\delta =\frac{10}{12}=\frac{5}{6}\approx 0,8333\text{rad/s}$]

$2{\delta }^2=2\times {\left(\frac{5}{6}\right)}^2=\frac{25}{18}\approx 1,3889{\text{rad}}^2/{\text{s}}^2$

${\omega }_r^2=\frac{100}{3}-\frac{25}{18}=\frac{575}{18}\approx 31,9444{\text{rad}}^2/{\text{s}}^2$

$\boxed{{\omega }_r=\sqrt{\frac{575}{18}}\approx 5,65\text{rad/s}}$

Exercice 3 (8 points)

1. L = T- U

On cherche l'énergie cinétique du système : $T=T_{m1}+T_{m2}+T_M$

$T_{m1}=\frac{1}{2}{m}_1{\dot{x_1}}^2$

$T_{m2}=\frac{1}{2}{m}_2{\dot{x_2}}^2$

fil inextenssible autour de la poulie. donc si $m_1$ se déplace de $x_1$, alors la poulie fait une rotation d'un angle $\theta$, tel que $R\theta =x_1$.

$T_M=\frac{1}{2}J{\dot{\theta }}^2=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}MR²){\dot{\theta }}^2=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}MR²){\frac{{\dot{x}}_1}{R²}}^2=\frac{1}{4}M{\dot{x_1}}^2$

$T=\frac{1}{2}{m}_1{\dot{x_1}}^2+\frac{1}{2}{m}_2{\dot{x_2}}^2+\frac{1}{4}M{\dot{x_1}}^2$

sachant que $m_1=m_2=m=M/2$

$T=\frac{1}{2}m{\dot{x_1}}^2+\frac{1}{2}m{\dot{x_2}}^2+\frac{1}{4}2m{\dot{x_1}}^2=m{\dot{x_1}}^2+\frac{1}{2}m{\dot{x_2}}^2$

On cherche l'énergie potentielle du système : $U=U_k+U_k$ (uniquement la forme quadratique de l'énergie potentielle)

$U=\frac{1}{2}k{x}_2^2+\frac{1}{2}k(x_2-x_1{)}^2=\frac{1}{2}k{x}_2^2+\frac{1}{2}k{x}_2^2+\frac{1}{2}k{x}_1^2-\frac{1}{2}2k{x}_1{x}_2=k{x}_2^2+\frac{1}{2}k{x}_1^2-k{x}_1{x}_2$

D'où L = T - U

$L=[m{\dot{x_1}}^2+\frac{1}{2}m{\dot{x_2}}^2]-[k{x}_2^2+\frac{1}{2}k{x}_1^2-k{x}_1{x}_2]=m{\dot{x_1}}^2+\frac{1}{2}m{\dot{x_2}}^2-\frac{1}{2}k{x}_1^2-k{x}_2^2+k{x}_1{x}_2$

2. Les équations différentielles :

 Pour $x_1$ :

$\frac{\partial L}{\partial x_1}=-k{x}_1+k{x}_2$

$\frac{\partial L}{\partial \dot{x_1}}=2m\dot{x_1}$

Dérivée temporelle :

$\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}_1})=2m\ddot{x_1}$

Equation du mouvement pour $x_1$

$2m{\ddot{x}}_1+k{x}_1-k{x}_2=0$

Pour ($x_2$) :

$\frac{\partial L}{\partial x_2}=-2k{x}_2+k{x}_1$

$\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}_2}=m{\dot{x}}_2$

Dérivée temporelle :

$\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}_2})=m{\ddot{x}}_2$

Equation du mouvement pour $x_2$

$m{\ddot{x}}_2+2k{x}_2-k{x}_1=0$

D'où les équations du mouvement pour notre systéme à 2 d° de liberté

$2m{\ddot{x}}_1+k{x}_1-k{x}_2=0$

$m{\ddot{x}}_2+2k{x}_2-k{x}_1=0$

Recherche des pulsations propres

on prend des solutions harmoniques : $\ddot{x}=-\omega ²x$

$(k-2m\omega ²)x_1-k{x}_2=0$

$-k{x}_1+(2k-m\omega ²)x_2=0$

les solutions sont différentes de 0 ssi le determinant est égal $0$

$det=(k)(2k-m{\omega }^2)-2m{\omega }^2(2k-m{\omega }^2)-k^2=0$

$2k^2-km{\omega }^2-4km{\omega }^2+2m^2{\omega }^4-k^2=0$

$k^2-5km{\omega }^2+2m^2{\omega }^4=0$

Posons ($y={\omega }^2$). L'équation caractéristique devient un polynôme en ($y$) :

$2m^2\cdot y^2-5km\cdot y+k^2=0$

Le descriminant $\Delta =(5km{)}^2-8m^2{k}^2=25k^2{m}^2-8k^2{m}^2=17k^2{m}^2$

Donc : $y={\omega }^2=\frac{5km\pm \sqrt{17}\cdot km}{4m^2}=\frac{k}{4m}(5\pm \sqrt{17})$

Finalement, les pulsations propres sont :

$\boxed{{\omega }_{1,2}=\sqrt{\frac{k}{4m}(5\pm \sqrt{17})}}$

Application numérique :

${\omega }_2=18.49rad/s$

${\omega }_1=5.74rad/s$