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\begin{center}
$%
\begin{tabular}
[c]{lll}%
\textbf{U.S.T.H.B. 2014-2015 Semestre 2} & \hspace{3.75cm} & \textbf{Math 4} :
\textbf{Analyse complexe\vspace{-0.25cm}}\\
\textbf{Faculté de Mathématiques} &  & \textbf{2}$^{\mathbf{\grave{e}me}}%
$\textbf{\ Lic, ST-GP, Section G}%
\end{tabular}
\ \ \ \ $\textbf{\vspace{0.25cm}}

\underline{\textbf{Série d'exercices n}$%
%TCIMACRO{\U{b0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
$\textbf{\ 2 : Dérivation dans }$\mathbb{C}$\textbf{ - Équations de Cauchy
Riemann}}
\end{center}

\noindent\underline{\textbf{Exercice 1}}\textbf{\ :\label{key3} }À l'aide de
la définition calculer la dérivée de $f\left(  z\right)  =z^{2}-z.$\vfill


\noindent\underline{\textbf{Exercice 2}}\textbf{\ : }Montrer que les fonctions
complexes suivantes ne sont pas dérivables aux points indiqués.

$\hspace{0.75cm}$\textbf{a)} $f\left(  z\right)  =\overline{z},$ pour
$z\in\mathbb{C}$ b) $f\left(  z\right)  =\operatorname{Re}z,$ pour
$z\in\mathbb{C},$ c) $f\left(  z\right)  =\operatorname{Im}z,$ pour
$z\in\mathbb{C}.$\vfill


\noindent\underline{\textbf{Exercice 3}}\textbf{\ : }Examiner si les fonctions
suivantes sont holomorphes sur le domaine indiqué.

$\hspace{0.5cm}$\textbf{a)} $f\left(  z\right)  =e^{-y}\left(  \cos x+i\sin
y\right)  ,$ sur $\mathbb{C}$, b) $f\left(  z\right)  =\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}%
}+i\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}},$ sur $\mathbb{C}\backslash\left\{  0\right\}
$,\bigskip

$\hspace{0.5cm}$c) $f\left(  z\right)  =x^{2}-y^{2}+2ixy,$ sur $\mathbb{C}$,
\textbf{d)} $f\left(  z\right)  =\left(  x^{2}-y^{2}-2xy\right)  +i\left(
x^{2}-y^{2}+2xy\right)  ,$ sur $\mathbb{C}$.\vfill


\noindent\underline{\textbf{Exercice 4}}\textbf{\ : a) }Montrer que la
fonction $u$ définie ci-dessous est harmonique.%
\[
u\left(  x,y\right)  =x^{2}-y^{2}-2xy-2x+3y,\ x,y\in\mathbb{R}.
\]
Trouver une fonction $v$ pour que la fonction $f=u+iv$ soit
holomorphe.\newline b)\textbf{ }Mêmes questions pour la fonction%
\[
u\left(  x,y\right)  =y\cos y\ \text{ch}\ x+x\sin y\ \text{sh}\ x,\ x,y\in
\mathbb{R}.
\]


\vfill


\noindent\underline{\textbf{Exercice 5}}\textbf{\ : }Quelle est la nature des
singularités de chacune des fonctions suivantes?

$\hspace{1.75cm}$\textbf{a)} $\dfrac{z+3}{z^{2}-1}$, \textbf{b)} $\dfrac
{1}{\sin\left(  \frac{1}{z^{2}}\right)  }$.
\end{document}