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\pagestyle{plain}
\begin{document}

\begin{center}
$\vspace*{-1.05cm}$

$%
\begin{tabular}
[c]{lll}%
\textbf{USTHB 2014-2015 Semestre 2} & \hspace{3.75cm} & \textbf{Math 4} :
\textbf{Analyse complexe\vspace{-0.25cm}}\\
\textbf{Faculté de Mathématiques} &  & \textbf{2}$^{\mathbf{\grave{e}me}}%
$\textbf{\ Lic, ST-GP, Section G}%
\end{tabular}
\ \ \ \ $\textbf{\vspace{0.25cm}}

\underline{\textbf{Série d'exercices n}$%
%TCIMACRO{\U{b0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
$\textbf{\ 3 : Intégration dans }$\mathbb{C}$}
\end{center}

\noindent\underline{\textbf{Exercice 1}}\textbf{\ : \label{key4}}

Calculer $%
%TCIMACRO{\dint _{\left(  0,3\right)  }^{\left(  2,4\right)  }}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int_{\left(  0,3\right)  }^{\left(  2,4\right)  }}
%EndExpansion
\left(  2y+x^{2}\right)  dx+\left(  3x-y\right)  dy$ le long de $\medskip$

$\hspace{0.5cm}$\textbf{a)} la parabole $x=2t,$ $y=t^{2}+3,$

$\hspace{0.5cm}$\textbf{b)} la ligne brisée formée par les segments de droite
$\left(  0,3\right)  $ à $\left(  2,3\right)  $ et $\left(  2,3\right)  $ à
$\left(  2,4\right)  ,$

$\hspace{0.5cm}$\textbf{c)} le segment de droite d'extrémités $\left(
0,3\right)  $ et $\left(  2,4\right)  .$\vfill


\noindent\underline{\textbf{Exercice 2}}\textbf{\ :}

Évaluer $%
%TCIMACRO{\dint _{C}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int_{C}}
%EndExpansion
\overline{z}dz$ de $z=0$ à $z=4+2i$ le long de la courbe $C$ dans les cas
suivants.$\medskip$

$\hspace{0.5cm}$\textbf{a)} la courbe $C$ définie par $z=t^{2}+it,$

$\hspace{0.5cm}$\textbf{b)} la courbe $C$ formée des segments joignant $0$ à
$2i$ et $2i$ à $4+2i.$\vfill


\noindent\underline{\textbf{Exercice 3}}\textbf{\ :}

\textbf{ }Évaluer les intégrales $%
%TCIMACRO{\doint _{C}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\oint_{C}}
%EndExpansion
dz,\
%TCIMACRO{\doint _{C}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\oint_{C}}
%EndExpansion
zdz$ et $%
%TCIMACRO{\doint _{C}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\oint_{C}}
%EndExpansion
z-idz$,

où $C$ est une courbe fermée simple.\vfill


\noindent\underline{\textbf{Exercice 4}}\textbf{\ : }

Évaluer $%
%TCIMACRO{\doint _{C}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\oint_{C}}
%EndExpansion
\dfrac{1}{z-a}dz$ où $C$ désigne une courbe fermée et $z=a$ est

$\hspace{0.5cm}$\textbf{a)} à l'extérieur de $C,$ \textbf{b)} à l'intérieur de
$C.$

\noindent\underline{\textbf{Exercice 5}}\textbf{\ :}

\noindent Soit $C$ le cercle $\left\vert z\right\vert =3.$ Évaluer$\bigskip$

$\hspace{0.5cm}$\textbf{a)} $%
%TCIMACRO{\doint \limits_{C}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\oint\limits_{C}}
%EndExpansion
\dfrac{\sin\left(  \pi z^{2}\right)  +\cos\left(  \pi z^{2}\right)  }{\left(
z-1\right)  \left(  z-2\right)  }dz,\hspace{0.5cm}$\textbf{b)} $%
%TCIMACRO{\doint \limits_{C}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\oint\limits_{C}}
%EndExpansion
\dfrac{e^{2z}}{\left(  z+1\right)  ^{4}}dz,\hspace{0.5cm}$\textbf{c)} $%
%TCIMACRO{\doint \limits_{C}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\oint\limits_{C}}
%EndExpansion
\dfrac{e^{z}}{\left(  z+1\right)  \left(  z-4\right)  }dz.$

\noindent\underline{\textbf{Exercice 6}}\textbf{\ :}

\noindent En utilisant la formule intégrale de Cauchy, montrer que%
\[%
%TCIMACRO{\dint \limits_{0}^{2\pi}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi}}
%EndExpansion
\cos^{4}\theta d\theta=\frac{3}{4}\pi.
\]
\textbf{Indication} : Poser $z=e^{i\theta}$, $C$ le cercle unité $\left\vert
z\right\vert =1$, d'où $d\theta=\dfrac{dz}{iz}$ et $\cos\theta=\dfrac{1}%
{2}\left(  z+\dfrac{1}{z}\right)  .$


\end{document}