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\begin{center}
$%
\begin{tabular}
[c]{lll}%
\textbf{U.S.T.H.B. 2013-2014 Semestre 1} & \hspace{3.75cm} & \textbf{Math 3} :
\textbf{Séries\vspace{-0.25cm}}\\
\textbf{Faculté de Mathématiques} &  & \textbf{2}$^{\mathbf{\grave{e}me}}%
$\textbf{\ Lic, ST-GP, Section D}%
\end{tabular}
\ \ \ $\textbf{\vspace{0.25cm}}

\underline{\textbf{Série d'exercices N}$%
%TCIMACRO{\U{b0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
$\textbf{\ 0 : Rappel sur les suites numériques réelles}}\textbf{\vspace
{0.25cm}}
\end{center}

\noindent\underline{\textbf{Exercice 1}}\textbf{\ : \label{f1}}Pour tout
entier naturel $n>1$ on pose $u_{n}=%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=2}^{n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=2}^{n}}
%EndExpansion
\dfrac{1}{k\left(  k-1\right)  }$.\newline\textbf{a)} Montrer que $\left(
u_{n}\right)  $ converge en calculant sa limite.\newline\textbf{b)} En déduire
que la suite $\left(  v_{n}\right)  $ définie sur $\mathbb{N}^{\ast}$ par :
$v_{n}=%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}}
%EndExpansion
\dfrac{1}{k^{2}},\ \ \ n\in\mathbb{N}^{\ast}$ est convergente.$\vspace{1cm}$

\noindent\underline{\textbf{Exercice 2}}\textbf{\ : }Soit\textbf{\ }$\left(
u_{n}\right)  $ une suite réelle telle que : $\forall n\in\mathbb{N}$
\ \ $0\leq u_{n}\leq q<1,\ q>0.$\newline Soit $\left(  a_{n}\right)  $ une
suite à termes positifs et bornée. On définit la suite $\left(  w_{n}\right)
$ par :%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
w_{0}=a_{0}\\
w_{n}=%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=0}^{n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}}
%EndExpansion
a_{k}u_{k}^{k}\ \ \ \ \ n\in\mathbb{N}^{\ast}.
\end{array}
\right.
\]
Étudier la nature de la suite $\left(  w_{n}\right)  .\vspace{1cm}$

\noindent\underline{\textbf{Exercice 3}}\textbf{\ : }Soient $\left(
u_{n}\right)  $ et $\left(  v_{n}\right)  $ les suites définies pour
$n\in\mathbb{N}^{\ast}$ par :%
\[
u_{n}=\sum_{k=0}^{k=n}\frac{1}{k!}\text{ \ \ \ ; \ \ \ }v_{n}=u_{n}+\frac
{1}{n.n!}.
\]
Montrer que les suites $\left(  u_{n}\right)  $ et $\left(  v_{n}\right)  $
convergent vers la même limite $l.$


\end{document}