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\pagestyle{plain}
\begin{document}

\begin{center}
$%
\begin{tabular}
[c]{lll}%
\textbf{U.S.T.H.B. 2013-2014 Semestre 1} & \hspace{3.75cm} & \textbf{Math 3} :
\textbf{Séries\vspace{-0.25cm}}\\
\textbf{Faculté de Mathématiques} &  & \textbf{2}$^{\mathbf{\grave{e}me}}%
$\textbf{\ Lic, ST, Sections D et L}%
\end{tabular}
\ \ \ $\textbf{\vspace{0.25cm}}

\underline{\textbf{Série d'exercices N}$%
%TCIMACRO{\U{b0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
$\textbf{\ 4 : Séries de Fourier}}\textbf{\vspace{0.25cm}}
\end{center}

\noindent\underline{\textbf{Exercice 1}}\textbf{\ : }\label{fourier1}

\noindent Soit $f$ la fonction $2\pi$-périodique définie par%
\[
f\left(  x\right)  =\left\{
\begin{array}
[c]{lll}%
-1-x & \text{ si } & x\in\left]  -\pi,0\right[  ,\\
1-x & \text{ si } & x\in\left]  0,\pi\right[  .
\end{array}
\right.
\]
\textbf{\vspace*{-0.25cm}}

\textbf{a)} Représenter $f$ sur $3$ périodes.

\textbf{b)} Écrire la série de Fourier associée à $f$.

\textbf{c)} En déduire les sommes des séries numériques $%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}}
%EndExpansion
\dfrac{\left(  -1\right)  ^{n}}{2n+1}$ \ et $%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=1}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}}
%EndExpansion
\dfrac{1}{n^{2}}.$\textbf{\bigskip}

\noindent\underline{\textbf{Exercice 2}}\textbf{\ :}

\noindent Soit $f$ la fonction $2\pi$-périodique définie sur $\left[  -\pi
,\pi\right[  $ par $f\left(  x\right)  =1-\dfrac{x^{2}}{\pi^{2}}%
.$\textbf{\bigskip}

\textbf{a)} Écrire la série de Fourier associée à $f$.

\textbf{b)} En déduire les sommes des séries $%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=1}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}}
%EndExpansion
\dfrac{\left(  -1\right)  ^{n}}{n^{2}}$, $\
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}}
%EndExpansion
\dfrac{1}{\left(  2n+1\right)  ^{2}}$ \ et $%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=1}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}}
%EndExpansion
\dfrac{1}{n^{4}}.$\textbf{\bigskip}

\noindent\underline{\textbf{Exercice 3}}\textbf{\ :}

\noindent Développer en série de Fourier la fonction $2\pi$-périodique,
impaire, définie par%
\[
f\left(  x\right)  =x\left(  \pi-x\right)  ,\ \ \ x\in\left[  0,\pi\right]  .
\]
\noindent En déduire les sommes des séries $%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}}
%EndExpansion
\dfrac{\left(  -1\right)  ^{n}}{\left(  2n+1\right)  ^{3}}$ \ et $%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}}
%EndExpansion
\dfrac{1}{\left(  2n+1\right)  ^{6}}.$\textbf{\bigskip}

\noindent\underline{\textbf{Exercice 4}}\textbf{\ :}

\noindent Déterminer le développement en série de Fourier pour la fonction
$f,$ \ $2\pi$-périodique définie sur $\left[  -\pi,\pi\right]  $ par $f\left(
x\right)  =e^{ax},\ a\in\mathbb{R}.$\textbf{\bigskip}

\noindent En déduire la valeur des sommes $%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=1}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}}
%EndExpansion
\dfrac{1}{n^{2}+a^{2}}$ \ et $%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=1}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}}
%EndExpansion
\dfrac{1}{n^{2}}.$


\end{document}