Equations non linéaires

L’équation \(f(x)=x^2-6x - 7= 0\) a deux solutions \(x=-1\) et \(x=7\). On peut utiliser la terminologie équivalente suivante:

• \(x_1=-1\) et \(x_2=7\) sont les racines de l’équation
• \(x_1=-1\) et \(x_2=7\) sont les solution de l’équation
• \(x_1=-1\) et \(x_2=7\) sont les zéros de \(f(x)\)

Il est généralement nécéssaire de connaître approximativement l’intervalle où se trouve une racine avant de pouvoir appliquer une méthode numérique pour la calculer. Donner le nombre de racines ainsi qu’un intervalle qui contient chaque racine et une seule à la fois s’appelle séparer les racines.

Exemple

L’équation \(x^2+3x+1= 0\) a les deux racines suivantes:

• \(x_1 \in [-3, -2]\)
• \(x_2 \in [-1, 0]\)

Méthodologie

Pour séparer les racines d’une équation \(f(x)=0\), on peut choisir parmi les options suivantes:

1. Tracer le graphe de \(f(x)\) en zoomant si nécéssaire.
2. Faire une tableau de variations de la fonction \(f(x)\) cad calculer \(f, f' \: \textrm{et} \: f''\)
3. Utiliser la physique du problème pour estimer la plage des valeurs possibles de la variable \(x\). Par exemple, pour le problème du réservoir cylindirique, on sait que \(0 \leq h \leq 2r\).