Introduction

Problème

Un réservoir cylindrique d’axe horixontal a pour rayon \(r = 2 \,\, \mathtt{m}\) et longueur \(L = 5 \,\, \mathtt{m}\). A quelle hauteur \(h\) faut-il remplir le réservoir d’eau pour y stocker un volume \(V = 8.5 \,\, \mathtt{m^3}\)?

On donne la formule (1) pour le calcul du volume d’eau dans le cylindre (formule obtenue par calcul intégral):

(1)\[\begin{split}V = \left\{ r^2 \cos^{-1} \left( \frac{r-h}{r} \right) - (r-h) \sqrt{2rh - h^2} \right\} L \\\end{split}\]

Solution

Aprés substitution des valeurs numériques dans la formule (1), on obtient l’équation (2) qui peut-être utilisée pour calculer la hauteur recherchée \(h\).

(2)\[\begin{split}V = \underbrace{ 4 \cos^{-1} \left( \frac{2-h}{2} \right) - (2-h) \sqrt{4h - h^2} - 1.7 }_{f(h)} = 0 \\\end{split}\]

Remarque

L’équation (2) est non-linéaire. Il est donc impossible de trouver sa solution \(h\) par une méthode analytique. Il faut utiliser une méthode numérique pour obtenir une solution approchée.