Types d’erreurs

Les sources d’erreurs sont inombrables. Elles sont responsables de l’inexactitude de l’approximation obtenue par une méthode numérique. Certaines erreurs sont la avant même de commencer le calculs!

Erreur de modelisation

Le modele \(d=vt\) ne peut pas etre utilisée pour déterminer le temps que va mettre Hamid pour vernir d’Alger a Bab-Ezzouar. Il faut aussi tenir compte des embouteillages, des barrages, du fait que la vitesse \(v\) n’est pas constante. Un modèle plus approprié doit tenir compte du fait que la vitesse varie avec le temps. Cela est possible avec la formule \(d=\int_{0}^{T} v(t) \: dt\).

Erreur de données

Les quantités mesurées sont toujours approchées. Cela est du aux erreurs de lecture, aux instruments de mesures qui se dérèglent avec le temps, et également aux limitations des instruments (technique). De plus les valeurs sont données en précisiont finie (nombre de chiffres significatifs fini).

Erreur du au démarrage de calculs précédents

Les donnés initiales d’un calcul peuvent provenir des résultats d’un calcul précédent qui eux mêmes sont inexacts. Il y a donc une erreur avant même de démarrer les calculs.

Erreur de troncature ou d’itération

On fait ce type d’erreur lorsque:

• On prend un nombre fini de termes dans une série
• On utilise un nombre fini d’itérations
• On Approxime une dérivée par un quotient aux différences

Erreur de d’arrondi

Les nombres ne sont pas stockés de façon exacte sur un ordinateur. Il en est de mêe pour les opérations qui introduisent des erreurs supplémentaires. Par exemple, \(\frac{4}{3}\) sera stocké sur la machine avec la valeur \(1.333,333\) qui ne comporte que 7 chiffres significatifs correctes alors que la valeur exacte comporte une décimale infinie.

Erreur humaines, gaffes

Ce sont des erreurs qui existent (surtout dans les programmes) et dont il faut se méfier. Elles peuvent-êtres à l’origine de résultats complètement faux qu’on n’arrive pas à expliquer.

Erreur absolue et erreur relative

Soit \(x\) une grandeur qu’on veut mesurer. On note \(x_{\textrm{ex}}\) la valeur exacte et \(x_{\textrm{app}}\) la valeur approchée obtenue par de mesure. On appelle erreur absolue la quantité \(e_{\textrm{abs}}\) définie par l’équation (1)

(1)\[\begin{split}e_{\textrm{abs}} = | x_{\textrm{ex}} - x_{\textrm{app}} | \\\end{split}\]

En pratique, on utilise plutôt l’erreur relative (equation (2)) qui informe mieux sur la taille de l’erreur. Celle-ci est obtenue en comparant l’erreur absolue à la valeur mesurée et est généralement donnée en pourcent.

(2)\[\begin{split}e_{\textrm{rel}} = \frac{ e_{\textrm{abs}} }{ | x_{\textrm{ex}} | } \\\end{split}\]

Exemple

La longueur d’une vis est mesurée et le résultat obtenu est \(L_{\textrm{app}} = 9 \, \mathtt{cm}\). La longuer exacte de la vis est \(L_{\textrm{ex}} = 10 \, \mathtt{cm}\). Evaluez l’erreur sur la valeur mesurée.

Solution

\[e_{\textrm{abs}} = | L_{\textrm{ex}} - L_{\textrm{app}} | = | 10 - 9 | = 1 \, \mathtt{cm}\]

\[e_{\textrm{rel}} = \frac{ e_{\textrm{abs}} }{ | L_{\textrm{ex}} | } = \frac{1}{|10|} = 0.1 = 100 (0.1) \% = 10 \%\]